miércoles, 2 de septiembre de 2009

Problema de Geometría 49: Triangulo rectángulo, Ceviana, Perpendicular

Problema propuesto
Hacer click en la figura para ver el enunciado y el grafico completo del problema 49.

Problema de Geometría 49: Triangulo rectángulo, Ceviana, Perpendicular.
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Problema de Geometria 49
Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College
Posted by Antonio Gutierrez at 15:06
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3 comentarios:

  1. Anónimo9 de octubre de 2009, 13:33

    En el triángulo rectángulo en B, ABC, cos(2a)=BC/AC. La altura sobre la hipotenusa AC es (T. de la altura) BD = AB*BC/AC = AB*cos(2a)=AB*(1-2sen^2(a)). (1)
    En el triángulo rectángulo en B, ABE, cos(a)=AB/AE. (2)
    En el triángulo rectángulo en F, AFE, el ángulo AEF es 3a, y por tanto cos(3a)=EF/AE. (3).
    Dividiendo (2) entre (3), AB/EF=cos(a)/cos(3a). (4)
    Despejando de (4) AB=EF*cos(a)/cos(3a) y sustituyendo en (1): BD=EF*cos(a)cos(2a)/cos(3a). (5)
    Utilizando la identidad: cos(3a) = cos(a)(1-4sen^2(a)) y cos(a)cos(2a)=(cos(3a)+cos(a))/2.
    De (5): BD=(EF/2)*(1+cos(a)/cos(3a))=EF*(1-2sen^2(a))/(1-4sen^2(a)). (6).
    Sumando (1) y (6) obtenemos:
    2BD=AB*(1-2sen^2(a))+EF*(1-2sen^2(a))/(1-4sen^2(a))=AB-2AB*sen^2(a)+EF*(1-2sen^2(a))/(1-4sen^2(a)). (7).
    Utilizando que AB=EF*cos(a)/cos(3a)=EF/(1-4sen^2(a)) en (7) obtenemos finalmente:
    2BD=AB + EF -> BD=(AB+EF)/2. cqd.

    MIGUE.

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  2. Anónimo11 de mayo de 2010, 17:18

    Hola,soy yo otra ves,para resolver el problemita,
    lo primero que se tiene que hacer es prolongar
    AB y FE,tal que se corten en el punto "G",luego
    si analizamos,el grafico podemos notar que
    la m< AGE = 2α,luego en el triangulo AEG,trazamos
    la ceviana interior EH ("H" en AB) , tal que
    la m< GHE = 2α,con esto obtendriamos que
    la m< AEH = α,entonces el triangulo AHE es isoceles,osea de que AH = HE , asi que llamemosle de que AH = m ,entonces,HE = m,
    luego,si nos damos cuenta,el triangulo HEG,tambien es isoceles verdad,entonces HE = EG,
    pero como HE = m ,entonces EG = m

    Luego,como el triangulo HEG,es isoceles,entonces
    su altura,caeria en el punto medio,verdad.
    Osea de que HB = BG , asi que llamemosle de
    que HB = n , entonces BG = n

    Por otro lado,llamemosle de que AB = a, y de
    que EF = b , y nuestra incognita,sea BD = x

    Ahora lo que vamos a hacer,es una semejanza
    de triangulos,con los triangulos AFG,ADB y EBH.

    Entonces aplicando semejanza,con esos 3 triangulos,obtendriamos de que :

    (m + 2n)/(b + m) = (m + n)/x = m/n

    Luego,nosotros sabemos(por razones y proporciones),de que la suma de consecuentes,
    divido con la suma de antecedentes,es igual
    a la razon(o cualquier termino,de la proporcion)

    Entonces,aplicaremos esto,con el primer y tercer
    termino,y luego,lo igualaremos,al segundo termino,de dicha proporcion,ok,entonces quedaria :

    (2m + 2n)/(b + m + n) = (m + n)/x

    Luego,si miramos el grafico,podemos darnos cuenta de que a = m + n , verdad.
    Entonces reemplazando :

    (2a)/(a + b)= a/x

    Simplificando un "a" :

    2/(a + b) = 1/x

    Entonces quedaria,demostrado de que :

    x = (a + b)/2

    Bueno eso es todo ¡¡

    Saludos desde Lima - Peru

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  3. Anónimo13 de octubre de 2012, 19:39

    Construimos el triángulo AGB congruente a AEB con mGAB=mEAB, trazamos la altura BH, H en AC. Notamos que mAGB=90-a y además mGAC+mAGC+mACG=180 entonces mGAC=90-a. A partir de ello tenemos que los triángulos AGB y AGH son congruentes, entonces GH=AB. Además las rectas de GH, DB y EF son paralelas, y como GB=EF, entonces BD es la base media del trapecio HGEF y 2BD=GH+EF=AB+EF.
    Tacna-Perú

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