domingo, 26 de abril de 2009

Problema 12: Triangulo rectángulo, Ángulos, Ceviana, Congruencia

Problema propuesto
La figura muestra el triangulo ABC, Si el ángulo C mide 50 grados, el ángulo CBD mide 15 grados, y AD = BC, calcule la medida del ángulo A.

Problema 12: Triangulo rectángulo, Ángulos, Ceviana, Trazos auxiliares.

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Problema de Geometria 12, Coleccion de Problemas

Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College

4 comentarios:

  1. Hola,soy yo otra ves,veamos :

    1) Primeramente en el triangulo ABD,trazamos la
    ceviana interior BE,tal que el angulo BEA = 80

    2) Ahora complentando angulos,tenemos que el angulo BDE = 65 y EBD = 15,ahora llamamos AE = a ,
    ED = b

    3) Ahora tomamos "F" en BC tal que el angulo
    formado por las diagonales del cuadrilatero EBFD,sea de 90 grados,ahora si nos damos cuenta
    el triangulo EBF es isoceles,entonces EG = GF
    ("G" es la interseccion entre BD y EF),entonces
    ED = DF,pero como ED = b ---> DF = b,luego completando angulos en el triangulo EFD,tenemos que el angulo FED = 25,pero como dicho triangulo
    es isoceles,entonces el angulo EFD = 25 y con esto tendriamos que el angulo FDC = 50

    4) Ahora si nos damos cuenta el triangulo DFC es isoceles verdad,entonces DF = FC,pero como
    DF = b ---> FC = b,pero nos dan de dato que
    BC = AD = a + b,pero como FC = b,entonces BF = a
    pero como BF = BE ---> BE = a

    5) Finalmente en el triangulo ABE,notamos que es isoceles verdad,entonces
    el angulo BAE = al angulo ABE = x

    --> x + x + 80 = 180

    --> x = 50

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  2. Solucion enviada por Alejandro Astudillo A. de Santiago, Chile en
    Problema 12, Solucion 1

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  3. Ya ví las soluciones publicadas, pero quiero probar algo diferente.

    Ojo que no la consideraría una solución del todo formal, pero aquí va.

    - Trazar la ceviana "BP" ( "P" pertenece a "AD" ), tal que la medida del ángulo PBD sea 65°.

    - Tras completar ángulos se obsevarán dos triángulos isósceles:

    *PBC (PB=BC)

    *PBD (PB=PD) <== ojo acá

    Al hacer "PB" igual a "PD" entonces a simple vista se puede notar que "PD" es menor "AD"...

    Pero lo que sucede según nuestros datos es que "PD" es igual a "AD".

    Por lo que se concluye que el punto "P" es en realidad el punto "A".

    .: X = 50°

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  4. Solucion en video del problema 12 enviada por Eder Contreras y Cristian Baeza de la Universidad Catolica de Valparaiso.

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