En un triangulo rectángulo isósceles ABC, D es el excentro relativo a la hipotenusa AC, BE es perpendicular a AD. Demostrar que AD = 2BE.
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Problema de Geometria 19
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no esta muy complicado este problema solo hay que saber los lados del triangulo de 45/2.Veamos:
ResponderEliminarcomo "D" es excentro corta al angulo obtuso "A" en dos partes iguales ,como hay un angulo de 45,el excentro corta al angulo en 135/2 cada uno.Por otro lado llamemos "F" al punto de tangencia que esta contenida en la prolongacion vertical de BA y llamemos "G" al otro punto de tangencia que esta contenida en la prolongacion horizontal de BC.Ahora colocamos los lados del triangulo de 45/2 en AFD:
FD=k.v(2+v2)------>FD=DG por ser radios
AF=k.v(2-v2)----> v=raiz cuadrada
y AD=2k......(A)
al mirar el grafico nos damos cuenta que el angulo FAD y el angulo EAB son iguales, pero el angulo FAD=135/2 ,entonces el angulo EAB=135/2 y con esto el angulo EBA=45/2.
LUEGO EN EL CUADRADO DG=FA+AB,reemplazando:
k.v(2+v2)=k.v(2-v2)+AB
DESPEJANDO "AB":
AB=k.(v(2+v2)-v(2-v2))
AHORA A LA EXPRESION NUMERICA LO ELEVAMOS AL CUADRADO Y PARA QUE NO AFECTE, LE SACAMOS LA RAIZ CUADRADA,quedando:
AB=k.v(4-2v2)...(1)
FINALMENTE EN EL TRIANGULO BEA colocamos los lados del triangulo de 45/2(pero con otra constante(que sea "q"))
BE=q.v(2+v2)....(2)
y AB=2q.....(3)
AHORA REEMPLAZAMOS (1) EN (3):
k.v(4-2v2)=2q
DESPEJANDO "q"
q=(k/2).v(4-2v2)....(4)
AHORA REEMPLAZAMOS (4) EN (2):
BE=(k/2).v(4-2v2).v(2+v2)
BE=(k/2).v(8+4v2-4v2-4)
BE=(k/2).v(4)
BE=(k/2).2
BE=k....(B)
MIRANDO (A) Y (B) QUEDA DEMOSTRADO QUE:
AD=2BE
Asignando AB = h, y por semejanza de triángulos ADH y AEB, siendo H punto de tangencia sobre AC, con apoyo de pitágoras para hallar DH, AH y AD en función de h, luego reemplazando en la proporción resultante de la semejanza anterior, surge que AD = 2 EB.
ResponderEliminarBueno. Enrique Espínola
el problema lo entiendo pero muy poco la verdad se lo basico pero realmente no se por que AD= 2BE por mas que entiende un poco no entiendo poprque da ese resultado pero ya hice el problema gracias profe....
ResponderEliminarBueno en este probolemas bastaria recordar que el triangulo de 45 medios es notable y que los angulos EBA y AD-punto medio de AC es tienen esa medida y que AB es a-punto medio de ac por raiz de dos.
ResponderEliminarMil disculpas por no utilizar las notaciones adecuadas
Solucion enviada por Alejandro Astudillo A. de Santiago, Chile en
ResponderEliminarProblema 19, Solucion 1