Problema propuesto
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Problema de Geometria 39
Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College
miércoles, 29 de julio de 2009
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Hola,soy yo de nuevo,como son muchas demostraciones,las resumire ok.
ResponderEliminarPRIMERA PARTE ........
Primeramente como "O" es incentro,entonces :
m < BAO = m < OAC = a
m < OCB = m < OCA = b
Luego,llamemosle que :
m < OGH = c , m < OHG = d
1. Para comenzar,notamos rapidamente de que :
m < BFH = a + d , m < GDB = b + c
--> a + d = b + c ... (1)
Luego,aplicando la propiedad de la mariposa :
--> a + b = c + d ... (2)
Sumamos las ecuaciones (1) y (2) :
2a + b + d = 2c + b + d
2a = 2c
a = c --> b = d
Luego,para saber si un cuadrilatero es inscriptible,basta con saber de que se cumpla la regla del rebote, y si nos fijamos en el cuadrilatero AGFO,tenemos al angulo FAO (a) que rebota en el angulo FGO (c),pero como a = c .
Se cumple entonces la regla del rebote,por lo tanto :
El cuadrilatero AGFO es incriptible.
2. Del mismo modo, en el cuadrilatero CHDO, tenemos de que el angulo OCD (b),rebota en el angulo OHD (d),pero como b = d .
Se cumple la rebote,por lo tanto :
El cuadrilatero CHDO es inscriptible.
3. A simple vista,podemos notar de que OF es perpendicular a AB (m < OFA = 90º),entonces
aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < AGO = 90º,por otro lado,tambien podemos notar de que AO y FE son perpendiculares,entonces :
m < AFE = 90º - a
Luego,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicaremos la regla del rebote con el
angulo OAE (a),obteniendo de que m < OGE = a,
entonces m < AGE = 90º - a . Luego en el cuadrilatero AGFE,podemos notar que se cumple la regla del rebote(porque los angulos AGE y AFE son iguales),entonces :
El cuadrilatero AGFE es inscriptible.
4. Con el mismo metodo,que use en el caso anterior,lo aplicaremos en este y tendriamos demostrado de que los angulos EDC y EHC,son iguales,por lo que :
El cuadrilatero CHDE es inscriptible.
5. Llamemosle de que :
m < FAG = m
Entonces,en el cuadrilatero inscriptible AGFE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < FEG = m , y de igual manera,en el cuadrilatero inscriptible AGFO,aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < FOG = m
--> m < FAG = m < FEG = m < FOG
6. Con la misma idea,que en el caso anterior,aplicando la regla del rebote en los cuadrilateros inscriptibles CHDO y CHDE,quedaria demostrado de que :
--> m < DCH = m < DEH = m < DOH
7. En la demostracion 3,habiamos dicho de que
m < AGO = 90º,osea de que :
AG es perpendicular CG
Y de igual forma en la demostracion 4,se habria demostrado de que m < OHC = 90º,osea de que :
CH es perpendicular a AH
SEGUNDA PARTE .........
ResponderEliminar8. Para demostrar de que AG y ED son paralelas,vasta con saber de que los angulos AGD y GDE son suplementarios,veamos :
m < AGD + m < GDE = 180º
(90º + c) + (90º - c) = 180º
--> 180º = 180º ( Cumple)
Entonces AG // ED
De igual forma,para que CH y EF,sean paralelas se debe de cumplir de que :
m < EFH + m < FHC = 180º
(90º - d) + (90º + d) = 180º
--> 180º = 180º (Cumple)
Entonces CH // EF
9. Como el cuadrilatero AGFE es inscriptible,entonces simplemente aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < FAE = m < EGF , o´ que es los mismo decir :
Entonces m < BAC = m < EGH
De igual forma en el cuadrilatero inscriptible CHDE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < ECD = m < EHD , o´ que es lo mismo decir :
Entonces m < ACB = m < EHG
10. En el triangulo GEH,podemos notar que sus angulos miden :
2a , 2b y a+b+m+n(angulo GEH)
que dicho sea de paso,suman 180º
Ahora en el triangulo ABC,notamos que dos de
sus angulos miden :
2a y 2b
Entonces ... el tercer angulo debe de medir
a+b+m+n , verdad , pero este angulo es ABC,entonces :
--> m < ABC = m < GEH
11. Ya demostrado el caso anterior,podemos deducir facilmente de que los triangulos ABC y GEH son semejantes,porque sus tres angulos son iguales.
--> Los triangulo ABC y GEH son semejantes.
12. Simplemente,nos damos cuenta de que se cumple la regla del rebote,entonces :
El cuadrilatero AGHC es inscriptible.
13. Primeramente,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < OAE = m < EGO = a
De la misma forma en el C.I AFOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < OAE = m < EFO = a
Luego,el angulo CGH mide "c",pero como c = a , entonces m < CGH = a
Uniendo todo,obtenemos finalmente de que :
--> m < CAH = m < EGO = m < EFO = m < CGH
14. De la msiam forma,aplicando la regla del rebote en los C.I CHOE y CDOE , luego el angulo AHG mide "d" , pero como d = b y al final uniendo todo,quedaria demostrado de que :
--> m < ACG = m < EHO = m < EDO = m < AHG
15. Finalemente en el triangulo GEH,notamos de que GO,divide al angulo EGH en "a" y "c", pero
como a = c , entonces --> GO es bisectriz del angulo EGH . De igual forma notamos de que HO,divide al angulo GHE en "b" y "d" , pero como b = d , entonces --> HO es bisectriz del angulo GHE . Osea de que "O" es el punto de interseccion de 2 bisectrices interiores,que por consecuencia pasa la 3era bisectriz tambien en "O" , entonces :
--> "O" es incentro del triangulo EGH
Bueno,eso seria todo .
Un saludo, a todos los que leen esto xD