miércoles, 29 de julio de 2009

Problema 39: Triangulo, Incirculo, Cuadrilátero Inscriptible, Ángulos

Problema propuesto
Hacer click en la figura para ver el enunciado y el grafico completo del problema 39.

Problema 39: Triangulo, Incirculo, Cuadrilátero Inscriptible, Ángulos.
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Problema de Geometria 39
Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College

2 comentarios:

  1. Hola,soy yo de nuevo,como son muchas demostraciones,las resumire ok.

    PRIMERA PARTE ........

    Primeramente como "O" es incentro,entonces :

    m < BAO = m < OAC = a
    m < OCB = m < OCA = b

    Luego,llamemosle que :

    m < OGH = c , m < OHG = d

    1. Para comenzar,notamos rapidamente de que :
    m < BFH = a + d , m < GDB = b + c

    --> a + d = b + c ... (1)

    Luego,aplicando la propiedad de la mariposa :

    --> a + b = c + d ... (2)

    Sumamos las ecuaciones (1) y (2) :

    2a + b + d = 2c + b + d
    2a = 2c

    a = c --> b = d

    Luego,para saber si un cuadrilatero es inscriptible,basta con saber de que se cumpla la regla del rebote, y si nos fijamos en el cuadrilatero AGFO,tenemos al angulo FAO (a) que rebota en el angulo FGO (c),pero como a = c .
    Se cumple entonces la regla del rebote,por lo tanto :

    El cuadrilatero AGFO es incriptible.

    2. Del mismo modo, en el cuadrilatero CHDO, tenemos de que el angulo OCD (b),rebota en el angulo OHD (d),pero como b = d .
    Se cumple la rebote,por lo tanto :

    El cuadrilatero CHDO es inscriptible.

    3. A simple vista,podemos notar de que OF es perpendicular a AB (m < OFA = 90º),entonces
    aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < AGO = 90º,por otro lado,tambien podemos notar de que AO y FE son perpendiculares,entonces :
    m < AFE = 90º - a

    Luego,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicaremos la regla del rebote con el
    angulo OAE (a),obteniendo de que m < OGE = a,
    entonces m < AGE = 90º - a . Luego en el cuadrilatero AGFE,podemos notar que se cumple la regla del rebote(porque los angulos AGE y AFE son iguales),entonces :

    El cuadrilatero AGFE es inscriptible.

    4. Con el mismo metodo,que use en el caso anterior,lo aplicaremos en este y tendriamos demostrado de que los angulos EDC y EHC,son iguales,por lo que :

    El cuadrilatero CHDE es inscriptible.

    5. Llamemosle de que :
    m < FAG = m

    Entonces,en el cuadrilatero inscriptible AGFE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < FEG = m , y de igual manera,en el cuadrilatero inscriptible AGFO,aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < FOG = m

    --> m < FAG = m < FEG = m < FOG

    6. Con la misma idea,que en el caso anterior,aplicando la regla del rebote en los cuadrilateros inscriptibles CHDO y CHDE,quedaria demostrado de que :

    --> m < DCH = m < DEH = m < DOH

    7. En la demostracion 3,habiamos dicho de que
    m < AGO = 90º,osea de que :

    AG es perpendicular CG

    Y de igual forma en la demostracion 4,se habria demostrado de que m < OHC = 90º,osea de que :

    CH es perpendicular a AH

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  2. SEGUNDA PARTE .........

    8. Para demostrar de que AG y ED son paralelas,vasta con saber de que los angulos AGD y GDE son suplementarios,veamos :

    m < AGD + m < GDE = 180º
    (90º + c) + (90º - c) = 180º

    --> 180º = 180º ( Cumple)

    Entonces AG // ED

    De igual forma,para que CH y EF,sean paralelas se debe de cumplir de que :

    m < EFH + m < FHC = 180º
    (90º - d) + (90º + d) = 180º

    --> 180º = 180º (Cumple)

    Entonces CH // EF


    9. Como el cuadrilatero AGFE es inscriptible,entonces simplemente aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :

    m < FAE = m < EGF , o´ que es los mismo decir :

    Entonces m < BAC = m < EGH

    De igual forma en el cuadrilatero inscriptible CHDE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :

    m < ECD = m < EHD , o´ que es lo mismo decir :

    Entonces m < ACB = m < EHG


    10. En el triangulo GEH,podemos notar que sus angulos miden :

    2a , 2b y a+b+m+n(angulo GEH)

    que dicho sea de paso,suman 180º


    Ahora en el triangulo ABC,notamos que dos de
    sus angulos miden :

    2a y 2b

    Entonces ... el tercer angulo debe de medir
    a+b+m+n , verdad , pero este angulo es ABC,entonces :

    --> m < ABC = m < GEH

    11. Ya demostrado el caso anterior,podemos deducir facilmente de que los triangulos ABC y GEH son semejantes,porque sus tres angulos son iguales.

    --> Los triangulo ABC y GEH son semejantes.

    12. Simplemente,nos damos cuenta de que se cumple la regla del rebote,entonces :

    El cuadrilatero AGHC es inscriptible.


    13. Primeramente,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < OAE = m < EGO = a

    De la misma forma en el C.I AFOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
    m < OAE = m < EFO = a

    Luego,el angulo CGH mide "c",pero como c = a , entonces m < CGH = a

    Uniendo todo,obtenemos finalmente de que :

    --> m < CAH = m < EGO = m < EFO = m < CGH

    14. De la msiam forma,aplicando la regla del rebote en los C.I CHOE y CDOE , luego el angulo AHG mide "d" , pero como d = b y al final uniendo todo,quedaria demostrado de que :

    --> m < ACG = m < EHO = m < EDO = m < AHG


    15. Finalemente en el triangulo GEH,notamos de que GO,divide al angulo EGH en "a" y "c", pero
    como a = c , entonces --> GO es bisectriz del angulo EGH . De igual forma notamos de que HO,divide al angulo GHE en "b" y "d" , pero como b = d , entonces --> HO es bisectriz del angulo GHE . Osea de que "O" es el punto de interseccion de 2 bisectrices interiores,que por consecuencia pasa la 3era bisectriz tambien en "O" , entonces :

    --> "O" es incentro del triangulo EGH


    Bueno,eso seria todo .

    Un saludo, a todos los que leen esto xD

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