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Problema de Geometria 39
Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College
Triangulos, Poligonos, Circulos, Puntos Notables, Congruencia, Semejanza, Relaciones Metricas, Areas, Transformaciones
Hola,soy yo de nuevo,como son muchas demostraciones,las resumire ok.
ResponderEliminarPRIMERA PARTE ........
Primeramente como "O" es incentro,entonces :
m < BAO = m < OAC = a
m < OCB = m < OCA = b
Luego,llamemosle que :
m < OGH = c , m < OHG = d
1. Para comenzar,notamos rapidamente de que :
m < BFH = a + d , m < GDB = b + c
--> a + d = b + c ... (1)
Luego,aplicando la propiedad de la mariposa :
--> a + b = c + d ... (2)
Sumamos las ecuaciones (1) y (2) :
2a + b + d = 2c + b + d
2a = 2c
a = c --> b = d
Luego,para saber si un cuadrilatero es inscriptible,basta con saber de que se cumpla la regla del rebote, y si nos fijamos en el cuadrilatero AGFO,tenemos al angulo FAO (a) que rebota en el angulo FGO (c),pero como a = c .
Se cumple entonces la regla del rebote,por lo tanto :
El cuadrilatero AGFO es incriptible.
2. Del mismo modo, en el cuadrilatero CHDO, tenemos de que el angulo OCD (b),rebota en el angulo OHD (d),pero como b = d .
Se cumple la rebote,por lo tanto :
El cuadrilatero CHDO es inscriptible.
3. A simple vista,podemos notar de que OF es perpendicular a AB (m < OFA = 90º),entonces
aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < AGO = 90º,por otro lado,tambien podemos notar de que AO y FE son perpendiculares,entonces :
m < AFE = 90º - a
Luego,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicaremos la regla del rebote con el
angulo OAE (a),obteniendo de que m < OGE = a,
entonces m < AGE = 90º - a . Luego en el cuadrilatero AGFE,podemos notar que se cumple la regla del rebote(porque los angulos AGE y AFE son iguales),entonces :
El cuadrilatero AGFE es inscriptible.
4. Con el mismo metodo,que use en el caso anterior,lo aplicaremos en este y tendriamos demostrado de que los angulos EDC y EHC,son iguales,por lo que :
El cuadrilatero CHDE es inscriptible.
5. Llamemosle de que :
m < FAG = m
Entonces,en el cuadrilatero inscriptible AGFE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < FEG = m , y de igual manera,en el cuadrilatero inscriptible AGFO,aplicaremos la regla del rebote,obteniendo de que m < FOG = m
--> m < FAG = m < FEG = m < FOG
6. Con la misma idea,que en el caso anterior,aplicando la regla del rebote en los cuadrilateros inscriptibles CHDO y CHDE,quedaria demostrado de que :
--> m < DCH = m < DEH = m < DOH
7. En la demostracion 3,habiamos dicho de que
m < AGO = 90º,osea de que :
AG es perpendicular CG
Y de igual forma en la demostracion 4,se habria demostrado de que m < OHC = 90º,osea de que :
CH es perpendicular a AH
SEGUNDA PARTE .........
ResponderEliminar8. Para demostrar de que AG y ED son paralelas,vasta con saber de que los angulos AGD y GDE son suplementarios,veamos :
m < AGD + m < GDE = 180º
(90º + c) + (90º - c) = 180º
--> 180º = 180º ( Cumple)
Entonces AG // ED
De igual forma,para que CH y EF,sean paralelas se debe de cumplir de que :
m < EFH + m < FHC = 180º
(90º - d) + (90º + d) = 180º
--> 180º = 180º (Cumple)
Entonces CH // EF
9. Como el cuadrilatero AGFE es inscriptible,entonces simplemente aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < FAE = m < EGF , o´ que es los mismo decir :
Entonces m < BAC = m < EGH
De igual forma en el cuadrilatero inscriptible CHDE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < ECD = m < EHD , o´ que es lo mismo decir :
Entonces m < ACB = m < EHG
10. En el triangulo GEH,podemos notar que sus angulos miden :
2a , 2b y a+b+m+n(angulo GEH)
que dicho sea de paso,suman 180º
Ahora en el triangulo ABC,notamos que dos de
sus angulos miden :
2a y 2b
Entonces ... el tercer angulo debe de medir
a+b+m+n , verdad , pero este angulo es ABC,entonces :
--> m < ABC = m < GEH
11. Ya demostrado el caso anterior,podemos deducir facilmente de que los triangulos ABC y GEH son semejantes,porque sus tres angulos son iguales.
--> Los triangulo ABC y GEH son semejantes.
12. Simplemente,nos damos cuenta de que se cumple la regla del rebote,entonces :
El cuadrilatero AGHC es inscriptible.
13. Primeramente,en el cuadrilatero inscriptible AGOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que m < OAE = m < EGO = a
De la misma forma en el C.I AFOE,aplicando la regla del rebote,obtendriamos de que :
m < OAE = m < EFO = a
Luego,el angulo CGH mide "c",pero como c = a , entonces m < CGH = a
Uniendo todo,obtenemos finalmente de que :
--> m < CAH = m < EGO = m < EFO = m < CGH
14. De la msiam forma,aplicando la regla del rebote en los C.I CHOE y CDOE , luego el angulo AHG mide "d" , pero como d = b y al final uniendo todo,quedaria demostrado de que :
--> m < ACG = m < EHO = m < EDO = m < AHG
15. Finalemente en el triangulo GEH,notamos de que GO,divide al angulo EGH en "a" y "c", pero
como a = c , entonces --> GO es bisectriz del angulo EGH . De igual forma notamos de que HO,divide al angulo GHE en "b" y "d" , pero como b = d , entonces --> HO es bisectriz del angulo GHE . Osea de que "O" es el punto de interseccion de 2 bisectrices interiores,que por consecuencia pasa la 3era bisectriz tambien en "O" , entonces :
--> "O" es incentro del triangulo EGH
Bueno,eso seria todo .
Un saludo, a todos los que leen esto xD