miércoles, 29 de julio de 2009

Problema 30: Triángulo rectángulo, Incentro, Inradio, Perpendiculares

Problema propuesto
Hacer click en la figura para ver el enunciado y el grafico completo del problema 30.

Problema 30: Triángulo rectángulo, Incentro, Inradio, Perpendiculares.
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Problema de Geometria 30
Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College
Posted by Antonio Gutierrez at 9:17
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2 comentarios:

  1. Anónimo18 de mayo de 2010, 17:46

    Hola,para resolver el problema,lo primero que tenemos que hacer es darnos cuenta de que como
    "E" es incentro del triangulo ABC,entonces
    m< DAE = m< EAF = α ; y como AB // FG , entonces
    m< BAF = m< GFC = 2α

    Luego prolongamos FE,tal que intersecte a AB
    en "D",apareciendo asi el triangulo isoceles DAF,entonces DE = EF,aprovechando esto,trazamos la perpendicular EH("H" en AF),pero si nos damos
    cuenta dicha perpendicular seria el inradio del
    triangulo ABC,verdad,entonces EH = r , luego
    trazamos la perpendicular DI("I" en AF),luego
    si nos damos cuenta en el triangulo DIF,
    encontramos base media,verdad,entonces DI = 2r

    Luego desde "D",trazamos la perpendicular DJ,
    en el cuadrilatero FDBG("J" en FG),con esto
    estariamos determinando de que DBGJ es un
    rectangulo,verdad,entonces BG = DJ = x

    Luego,en el triangulo AEF,podemos ver de
    que m< AFE = 90º - α ; y tambien de que
    m< DFJ = 90º - α , entonces si miramos
    el cuadrilatero DIFJ,podemos notar que podemos
    aplicar el teorema de la bisectriz,verdad.
    Entonces DI = DJ , pero como DI = 2r ; DJ = x

    ---> x = 2r


    Bueno eso es todo ¡¡

    Saludos desde Lima - Peru

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  2. Manoloelgrande28 de julio de 2015, 8:07

    Excelente demostración, ademas de ingeniosa y donde se aplican varios teoremas y principios que muchas veces se olvidan como el de la ceviana AE que es a su vez bisectriz y altura y por lo tanto el triangulo ADF es isósceles.

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