viernes, 6 de marzo de 2009

Problema 1: Triangulo, Angulos, Mediana, Congruencia

Problema propuesto
En un triangulo ABC, BD es la mediana relativa a AC, los ángulos A y DBC son iguales. Si el ángulo ADB mide 45°, demostrar que el ángulo A mide 30°.

Problema 1: Triangulo, Angulos, Mediana, Congruencia.

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Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, College

15 comentarios:

  1. Hola trate de realizarlo pero llego a contradicciones
    ¿?
    Como el àngulo BDC = 135 puedo trazar una recta de D que intersecte a BC en T de forma que el àngulo BDT=45. Por criterio AAL el triangulo ABD seria congruente a BTD.
    A lo cual llegaria que BTD es isosceles, pero por suma de àngulos llegaria a contradecir que la suma de los angulos da 180.
    Me podrìas decir en que me equivoco??
    Ya que estuve realizando el problema 5 pero tambien llego a contradicciones similares

    PDT. Zoe.b19@gmail.com

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  2. Gracias por la pregunta.
    A los triangulos ABD y BTD no se les puede aplicar el criterio AAL porque no tienen un lado congruente, solo tienen angulos iguales, o sea son semejantes.

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  3. Hola soy Dante tengo trece años. AD=DC=a .se prolonga AB y se traza CE perpendicular a AB tal que CEB es igual a 90. En el triangulo ABD, DBE es igual a 45+x por angulo exterior, como DBC ya es x CBE tiene que ser igual a 45.
    BE=EC=b y BC es b√2 por triangulo notable de 45.Despues ABC es semejante con BDC.
    Entonces: b√2/a=2a/b√2
    al final queda a=b
    Ahora el triangulo AEC es rectangulo notable de treinta y 60.por lo tanto:
    X=treinta
    voy a intentar hacer los demas problemas.

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  4. Gracias por la pregunta.
    A los triangulos ABD y BTD no se les puede aplicar el criterio AAL porque no tienen un lado congruente, solo tienen angulos iguales, o sea son semejantes.

    Gracias por la aclaración es que se nos habia dado el criterio ALA incorrecto.
    Realizado el 5, el 3

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  5. Hola Gracias por responder. Se habia escrito mal el Críterio ALA.
    Realizando los problemas.
    Esta buena la página!

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  6. Yo encontré otra solución, se circuscribe al triángulo ABD de modo que el lado BD sea tangente en B a dicha circunferencia, se puede hacer eso por las posiciones del ángulo x, luego hacemos AD = DC = a, entonces por relaciones métricas en la circunferencia BC^2 = AC.DC, con lo que BC = a√2, podemos notar que el ángulo ABC mide 135°(puesto que el ángulo ABD mide 135°-x)y finalmente aplicamos ley de senos en el triángulo ABC: 2a/sen135° = a√2/sen x, resultando sen x = 1/2, entonces x = 30°. Quiero mencionar también que no se me ocurrió la solución que planteó Dante, le estuve dando vueltas al problema pero no pude demostrar que, según las variables que planteó, a = b, noté la semejanza pero no se me ocurrió aplicarla, bien por el muchacho, saludos.

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  7. la cosa es hacerlo solo por geometria pero igual vale

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  8. Me confundí al escribir, el no tiene sentido decir que el lado BD sea tangente en B a la circunferencia exterior, quise decir que BC sería tangente en B a dicha circunferencia, mil disculpas.

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  9. Eu encontrei outra solução:
    Eu traçei uma reta perpendicular partindo do ponto B em encontro com o lado AC no ponto M, e tracei uma paralela a esta reta, que toca o lado BC em H e AC em D.
    Fiz semelhanças nos triângulos BDH e ABD, depois fiz semelhanças nos triângulos BCM e HDC, depois caí numa equação do 2º grau: y² + y(-2c) - 2c²
    Sendo que AD=DC=y e MD=MB=c
    No fim achei y=c + c(raiz de 3)e descobri que AM=c(raiz de 3)
    e o triângulo ABM é egípcio, logo x=30º

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  10. si son congruentes en la resolucion de dantebazan se aplica el caso AAA! los angulos son x; x - 45; 135. =S!

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  11. Hola soy Martín aca les dejo un problema:
    Se tiene un triangulo ABC, se traza la mediana AD
    si m<ABC=90+X,m<BAD=2X y m<BCA=2X, hallar "X"
    si kieren saber como se resualve les dejo mi correo: tinmar_moralitos@hotmail.com

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  12. la solución de dante es buena. Yo les planteo otra solución.
    1)Sea AD=DC=a, por el teorema de las antiparalelas, se concluye en el triángulo ABC que BC=a√2.(se demuestra por semejanza de triángulos dado que los triángulos ABC y BDC son semejantes)
    2)se observa que el triángulo BDC es obtusángulo, por lo cual su circuncentro "O" está en la región exterior relatica a BC. Por propiedad de circuncentro,BO=OC=OD=b, además la mmBC=b√2, pero en el paso 1 se determino que BC=a√2, por lo cual a=b.
    4) Para terminar, el triángulo ODC es equilátero, entonces 2x=60°.
    Por lo tanto x=30°

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  13. Solucion en video realizado por Eder Contreras y Cristian Baeza en Problema de Geometria 1. Gracias Eder y Cristian.

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  14. Solucion enviada por Alejandro Astudillo A. de Santiago, Chile en
    Problema 1, Solucion 1

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  15. No entiendo la solución de Alejandro Astudillo. Él afirma que al ser en ángulo CBE = 45°, entonces el triángulo CDE es equilátero. ¿Para ello no es necesario también tener que el triángulo BDE es isósceles? No he podido demostrar esto último.

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