viernes, 6 de marzo de 2009

Problema 2: Triangulo, Ángulos, Trazos auxiliares

Problema propuesto
En un triangulo ABC, ángulo BAO = ángulo OAC = 20°, ángulo ACO = 10°, y ángulo OCB = 30°, Demostrar que el ángulo OBC = 80°.

Problema 2: Triangulo, Ángulos, Trazos auxiliares.

Ver mas sobre problema 2 en:
gogeometry.com/geometria/p002_triangulo_angulos_trazo_auxiliar.htm

Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, College

17 comentarios:

  1. Basta aplicar el teorema de ceva (forma trigonométrica) a los ángulos que determinan las cevianas que pasan por los vértices del triángulo y el punto O, y sabiendo que el ángulo B=100, para obtener el resultado.

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  2. Yo encontré una solución, pero me parece un poco compleja, bueno, aquí va: prolongamos AO hasta que se intersecte con BC en P, luego para aprovechar la bisectriz del ángulo BAC trazamos desde el vértice B una perpendicular a AP de modo que se intersecte con OP en R y con AC en Q, entonces el triángulo QAB es isósceles con base BQ, también por ángulo exterior se tiene que mےPOC=30° y mےAPB=60°, ahora trazamos QP, como BR=RQ se tiene que mےOPQ=60°, entonces si llamamos S a la intersección de PQ y OC, notaremos que el triángulo OPC es isósceles, además que mےOCP=60°, con lo cual PS sería también una altura, entonces, mےPSO=90° y también OS=SC; ahora, en el triángulo OQC se puede entender que mےQOC=10° (puesto que la altura QS es también mediana, con lo que el triángulo resulta isósceles), ahora, por ángulo exterior mےAQO=20°, pero como QAB y QOB con isósceles con base BQ, se tiene también que mےABO=20°, y nuevamente por ángulo exterior en el triángulo AOB se tiene que mےBOP=40°. Finalmente en el triángulo OPB tendríamos que 40°+60°+x = 180°, con lo que x=80°.
    Por favor, si alguien tiene una solución menos engorrosa, publíquela :)

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  3. Hay una forma de resolver el problema aplicando trigonometría, (no se aplica cevas) no se hace ningún trazo auxiliar (se deja el gráfico tal y como está). El que desee que se lo envié, mi correo es rafaelcar22@hotmail.com.

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  4. el problema esta muy facil simplemente se forma un triangulo isosceles de esos dos angulos de 20°y a asi esa bisectriz seria una altura y de ahi chequealo y busca otro triangulo isosceles pequeño

    eso es todo.
    *mi correo es :paxton93@hotmail.com

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  5. Hola,soy yo otra ves,al parecer la solucion
    de Gabriel(como el mismo lo dice tambien),es
    un poquito compleja,asi que yo propongo
    una solucion,mas facil y entendible.

    Para comenzar,prolongemos AB,hasta un punto "D",
    tal que AD = AC,entonces el triangulo DAC,seria
    isoceles,verdad.

    Luego,si prolongamos AO,formaria con DC un angulo de 90º, verdad y a este punto de
    interseccion,llamemosle que sea "E",luego
    por angulo exterior,tendriamos de
    que m< EOC = 30º y m< DBC = 80º,luego
    completando angulos en el triangulo
    rectangulo OEC,tendriamos de que m< BCE = 30º.

    Luego,como el triangulo ADC es isoceles,su
    altura caeria en el punto medio,verdad,entonces
    DE = EC = b , luego como el triangulo OEC,
    es notable por 30º y 60º,entonces OC = 2b

    Finalmente,si nos damos cuenta,los triangulos
    OCB y BCD,son congruentes,por el caso L.A.L ,
    verdad.

    Nota : los triangulos OCB y BCD,tienen un
    mismo lado en comun que es BC)

    Entonces en el triangulo BCD,como al segmento
    que mide "2b",se le opone un angulo de 80º,
    entonces en el triangulo OCB,al segmento que
    mide 2b,tambien se le debe de oponer un
    angulo de 80º,verdad.

    --> x = 80º


    Bueno eso es todo ¡¡

    Saludos desde Lima - Peru

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  6. analice las formas escritas y vi q eran muy largas asi q aca les dejo un metodo cortisimo:
    1ºtrazamos desde el punto O una ceviana hasta AC en un punto llamado P(p esta en AC ).Tal q m< POC =10.Ahora por suma de angulos externos m<OPA sea 20º entonces se forma un triangulo isosceles AOP.Ahora por congruencia :A 20 se le opone un lado llamado M al otro lado tmb M .entonces vemos q en el triangulo ABC es isosceles tambien .y por ultimo sumar los lados 20+20+20+X+30+10=180 X=80

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  7. analice las formas escritas y vi q eran muy largas asi q aca les dejo un metodo cortisimo:
    1ºtrazamos desde el punto O una ceviana hasta AC en un punto llamado P(p esta en AC ).Tal q m< POC =10.Ahora por suma de angulos externos m<OPA sea 20º entonces se forma un triangulo isosceles AOP.Ahora por congruencia :A 20 se le opone un lado llamado M al otro lado tmb M .entonces vemos q en el triangulo ABC es isosceles tambien .y por ultimo sumar los lados 20+20+20+X+30+10=180 X=80

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  8. Ruben que criterio de semejanza de triangulos aplicas para que la medida ABO sea 20, no me convence

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  9. El triangulo ABC es isoceles, AB=BC. Sea la incognita "x". Exteriormente al triangulo y relativo al lado BC se ubica un punto T, talque TC=AO y el angulo TCB=20 con ello logramos que los triangulos AOB y BCT sean congruentes, con lo que BO=BT y el angulo ABO=CBT, entonces en angulo OBT=100. En el triangulo AOC se traza la ceviana OP (P en AC) tal que AO=OP,con lo que el triangulo OPC es isoceles ( AO=OP=PC ). Se une P con T formandose el triangulo equilatero PTC, entonces en angulo OPT)=100. Ademas, el triangulo OPT es isoceles con lo que el angulo POT=40, entonces los puntos A,O y T son colineales. Recordemos que por la congruencia que hemos buscado el triangulo OBT es isoceles, con lo que el angulo BOT=40, Habiamos denotado al angulo OBC como "x". por lo que el angulo ABO=100-x. pero por angulo exterior los angulos ABO + BAO = BOT. Osea, 100-x + 20 = 40, por lo tanto x=80.

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  10. Anònimo aclaro el criterio de semejanzo de Rùben al demostrar que el àngulo ABO=20º, el cual queda solucionado el problema.

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  11. Aqui les traigo otra solución.
    1)prolongamos AB has ta "P", tal que AP=AC,--> el △APC es isósceles(de base PC). En el △APC, completando ángulos, se tiene que mm△OPC es equilátero, de donde PC=a y m m<BOC=70°.
    5)△BOC: 30°+70°+x=180°
    Por lo tanto x=80°.

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  12. la solucion de cesar cruz es la mas adecuada

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  13. Profesor gutierrez, podría buscar una forma de que se pudiese usar latex o algo así :P

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  14. Excelente César, me gustó esa resolución.
    =D

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  15. me gusta este tipo de trazos auxiliares, te hace pensar y razonar, aunque me gusto el criterio del cuarto anónimo por lo rápido que fue...chido un punto para ti....y porfas envíen mas problemas de estos que soy fanático e ídolo de la geometría...!

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  16. Solucion en video realizado por Eder Contreras y Cristian Baeza en Problema de Geometria 2. Gracias Eder y Cristian.

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  17. Solucion enviada por Alejandro Astudillo A. de Santiago, Chile en
    Problema 2, Solucion 1

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