viernes, 6 de marzo de 2009

Problema 9: Triangulo, Ángulos, Equilátero, Trazos auxiliares

Problema propuesto
En la figura, AB = BD = AD, ángulo ACD = 10º, ángulo CAD = x, y ángulo CBD = x + 30º. Calcule x.

Problema 9: Triangulo, Ángulos, Equilátero, Trazos auxiliares.

Ver mas sobre el problema 9 en:
gogeometry.com/geometria/p009_triangulo_angulo_equilatero_trazo_auxiliar.htm

Nivel: Educacion Secundaria, Academia, Preparatoria, Bachillerato, College

8 comentarios:

  1. Para los que desean saber como se hace este problema grafiquen lo que voy explicando paso a paso ok?
    .Primeramente cortamos al angulo DBC en x y 30 grados(dicho segmento que corta al angulo DBC se intersecta con AC en un punto "E"),ahora rapidamente vemos que el angulo BEA=60(porque completando angulos el angulo BCA=30)

    .Ahora cortamos al angulo ABD en x y (60-x) grados(dicho segmento que corta al angulo ABD se intersecta con AC en un punto "F"),ahora si nos damos cuenta el triangulo FBE es equilatero >>> el angulo BFA=120

    .Llamemos:FB=b(pero como el triangulo FBE es equilatero,todos sus lados deben medir la misma longitud)>>BE=b;ahora teniendo esto unimos los puntos "D" y "E"(¿para que?),para hacer congruencia con los triangulos ABF y DBE(la ves o no la ves).En este caso seria L.A.L.

    En el triangulo ABF:Lado(AB)-Angulo(x)-Lado(b)
    En el triangulo DBE:Lado(BD)-Angulo(x)-lado(b)
    (Recuerda que AB=BD porque el triangulo ABD es equilatero)
    Ya confirmando que los triangulos son congruentes,procedemos a completar los lados y angulos(ok?)

    "(en el triangulo ABF)Como al segmento AB se le opone el angulo de 120,(en el triangulo DBE)entonces a BD tambien se le debe de opones el angulo de 120"
    >> el angulo BED=120 >> el angulo AED=60

    "(en el triangulo ABF)Como al angulo "x" se le opone el segmento "a"(llamemos a AF=a),(en el triangulo DBE)entonces al angulo "x" tambien se le debe de oponer el segmento "a"(verdad?)"
    >> DE=a

    .Miremos el triangulo BEC, es isoceles(verdad?),entonces BE=EC,pero como BE=b >> EC=b

    .Ahora en el triangulo DEC(el angulo AED=60 es angulo exterior de dicho triangulo),el angulo EDC=50

    .Ahora procederemos a hacer una ultima congruencia de triangulos(ok?,pero tu diras ¿cuales?,mira el grafico y date cuenta cuales son),si la vistes bien por ti,pero si no atento aca(ok?).Los triangulos congruentes serian ABF y DEC.Caso L.A.L.

    En el triangulo ABF:Lado(a)-Angulo(120)-Lado(b)
    En el triangulo DEC:Lado(a)-Angulo(120)-Lado(b)
    Ya confirmando que los triangulos son congruentes,procedemos a completar los lados(ok?)
    "(en triangulo ABF)Como al angulo 120 se le opone el segmento "m"(llamemos a AB=m),(en el triangulo DEC)entonces al angulo 120 tambien se le debe de oponer el segmento "m" " >>> DC=m

    Recuerda que el triangulo ABD es equilatero:
    >> AB=BD=AD=m;pero por congruencia habiamos concluido que DC=m;ahora si miramos el triangulo ADC es isoceles(puesto que AD=DC=m)
    FINALMENTE:
    >> x=10

    P.D:Otro problema que tambien llamo mi atencion(me gusta resolver este tipo de problemas)

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  2. Solucion enviada por Alejandro Astudillo A. de Santiago, Chile en
    Problema 9, Solucion 1

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  3. Aquí una solución más sencilla:

    - Prolongar "BD" hasta el punto "P" siendo el ángulo DAP igual a 30° y por lo tanto el cuadrilátero "ABCP" inscriptible en una circunferencia.

    - Completamos ángulos y notamos que: BCP=90°

    - Para esto ABP sería un triángulo rectángulo y "D" sería punto medio de "BP" (BD=DP)

    - Entonces se cumple que:
    BD=DP=CD

    - En el triángulo BCD:
    * BCD = DBC = 30° + x = 40°

    .: X = 10°

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  4. Solucion en video del problema 9 enviada por Eder Contreras y Cristian Baeza de la Universidad Catolica de Valparaiso.

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  5. Cuales son los criterios para realizar trazos auxiliares, alguna información para complementar

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  6. Hola, me llamo Pedro M
    Mi solucion es como sigue:
    Construimos el triangulo equilatero ACE de modo que B es un punto interno de dicho triangulo.
    El angulo BAE = x = angulo BEA (pues BC es bisectriz y mediatriz del angulo ACE)
    BA=BE pues triangulo ABE es isosceles
    Triangulo ABE es congruente con triangulo ADC (caso L.A.L.)
    X=10°

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